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<!DOCTYPE html>

<title>Holstein-Herring-Methode</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Holstein-Herring-Methode</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Die Holstein-<a href="Conyers_Herring" title="Conyers Herring">Herring</a>-Methode<a href="#cite_note-1">[1]</a><a href="#cite_note-2">[2]</a><a href="#cite_note-Herring62-3">[3]</a><a href="#cite_note-4">[4]</a>, auch bekannt unter der englischen Bezeichnungen surface integral method<a href="#cite_note-5">[5]</a><a href="#cite_note-6">[6]</a> oder Smirnov's method,<a href="#cite_note-7">[7]</a> ist in der <a href="Quantenphysik" title="Quantenphysik">Quantenphysik</a> ein effektives Verfahren zur Berechnung der <a href="Austauschwechselwirkung" title="Austauschwechselwirkung">Austauschenergieaufspaltung</a> asymptotisch entarteter Energiezustände in molekularen Systemen. Obwohl die Austauschenergieaufspaltung für zunehmend größer werdende internukleare Abstände <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy"> immer schwieriger zu berechnen ist, hat sie fundamentale Bedeutung für die Theorien der Bindung in Molekülen und des Magnetismus.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Theorie">Theorie</h2></div>

Die Grundidee der Holstein-Herring-Methode lässt sich am Beispiel des <a href="Diwasserstoff-Kation" title="Diwasserstoff-Kation">Wasserstoffmolekülions</a>, oder allgemeiner, der Atom-Ion-Systeme oder „Systeme mit einem aktiven Elektron“ folgendermaßen illustrieren. Wir betrachten Molekülzustände, die durch Zustandsfunktionen beschrieben werden, welche sich unter Rauminversion gerade oder ungerade verhalten. Dies wird durch die Suffixe <a href="Gerade_und_ungerade_Funktionen" title="Gerade und ungerade Funktionen">g und u</a> in <a href="Termsymbol" title="Termsymbol">Termsymbolen</a> gekennzeichnet und ist Standard zur Kennzeichnung elektronischer Zustände zweiatomiger Moleküle (für Atomzustände sind dagegen die englischen Ausdrücke „even“ und „odd“ gebräuchlich). Die zugehörige elektronische <a href="Schr%C3%B6dinger-Gleichung" class="mw-redirect" title="Schrödinger-Gleichung">Schrödinger-Gleichung</a> lässt sich schreiben als:

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V\right)\psi =E\psi ~,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7d1d5aa0cfd91f12936a8aa82bc224bfd2a2874b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:26.401ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V\right)\psi =E\psi ~,}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> die (elektronische) Energie eines gewählten quantenmechanischen Zustands (Eigenzustands) ist, mit einer elektronischen Zustandsfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} )}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/109564f25c267002405f7d3b4daa0cfc8bd9c5ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.036ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} )}" loading="lazy"> die von den Ortskoordinaten des Elektrons abhängt, und wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> das Coulomb-Potential der Elektron-Kern-Wechselwirkung ist. Für das <a href="Diwasserstoff-Kation" title="Diwasserstoff-Kation">Wasserstoff-Molekülion</a> gilt:

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{b}}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b0497b71c16b8aaa1866f19ca4832d133fd680f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:24.62ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle V=-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{b}}}\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

Für irgendeinen geraden Zustand lässt sich die elektronische Schrödinger-Gleichung in <a href="Atomare_Einheiten" title="Atomare Einheiten">atomaren Einheiten</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \hbar =m=e=4\pi \varepsilon _{0}=1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hbar =m=e=4\pi \varepsilon _{0}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c03850dcdca8771e44d17b7e7c65198fa5d890c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.619ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \hbar =m=e=4\pi \varepsilon _{0}=1}" loading="lazy">) schreiben als:

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(-{\frac {1}{2}}\nabla ^{2}+V({\textbf {x}})\right)\psi _{+}=E_{+}\psi _{+}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91dcb80c3f5e2e18aa2ed68d2081d9ae185055c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:30.825ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left(-{\frac {1}{2}}\nabla ^{2}+V({\textbf {x}})\right)\psi _{+}=E_{+}\psi _{+}}" loading="lazy"></dd></dl>

Für irgendeinen ungeraden Zustand lässt sich die zugehörige Wellengleichung schreiben als:

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(-{\frac {1}{2}}\nabla ^{2}+V({\textbf {x}})\right)\psi _{-}=E_{-}\psi _{-}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d8cf813e0f32dffb236010b418625f4bdd99977.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:30.825ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left(-{\frac {1}{2}}\nabla ^{2}+V({\textbf {x}})\right)\psi _{-}=E_{-}\psi _{-}}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Einfachheit halber nehmen wir reelle Funktionen an (obwohl das Endergebnis für den Fall komplexer Funktionen verallgemeinert werden kann). Nun multiplizieren wir die Gleichung für die gerade Funktion von links mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi _{-}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi _{-}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/abe855238bc20489dc7735844c7039062b613092.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.024ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \psi _{-}}" loading="lazy">, die Gleichung für die ungerade Funktion von links mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi _{+}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi _{+}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6713c31818343696bbba6f140c4d008c692935c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.024ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \psi _{+}}" loading="lazy">, und erhalten daraus die Differenz:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi _{+}\nabla ^{2}\psi _{-}-\psi _{-}\nabla ^{2}\psi _{+}={}-2\,\Delta E\,\psi _{-}\psi _{+}\;.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65e9eabd95ecc61e7aa0ecf904290cda3b51f746.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:39.843ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \psi _{+}\nabla ^{2}\psi _{-}-\psi _{-}\nabla ^{2}\psi _{+}={}-2\,\Delta E\,\psi _{-}\psi _{+}\;.}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta E=E_{-}-E_{+}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta E=E_{-}-E_{+}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b1a95b38576f3bdb9b56b41aa41fe799aabe2fd5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.102ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta E=E_{-}-E_{+}}" loading="lazy"> als Austauschenergieaufspaltung bezeichnet wird. Im nächsten Schritt definieren wir, <a href="Ohne_Beschr%C3%A4nkung_der_Allgemeinheit" title="Ohne Beschränkung der Allgemeinheit">ohne Beschränkung der Allgemeinheit</a>, orthogonale Ein-Teilchen-Funktionen, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{A}^{}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{A}^{}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a1367c1447d3359f67718612f2a9dc529f0064a6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.85ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi _{A}^{}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{B}^{}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{B}^{}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b96f6fa6e56fd11ee63777f0468545c611bb59b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.865ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi _{B}^{}}" loading="lazy">, die an den Kernen lokalisiert seien und schreiben:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi _{+}={\frac {1}{\sqrt {\,2}}}~(\phi _{A}^{}+\phi _{B}^{})\;,\qquad \psi _{-}={\frac {1}{\sqrt {\,2}}}~(\phi _{A}^{}-\phi _{B}^{})\;.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a585aaebbfe5ed3b58e5df1148e329bfdd9c7ef6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:50.395ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \psi _{+}={\frac {1}{\sqrt {\,2}}}~(\phi _{A}^{}+\phi _{B}^{})\;,\qquad \psi _{-}={\frac {1}{\sqrt {\,2}}}~(\phi _{A}^{}-\phi _{B}^{})\;.}" loading="lazy"></dd></dl>

Dies ist ähnlich dem in der Quantenchemie verwendeten LCAO-Ansatz <a href="Molek%C3%BClorbitaltheorie#MO-Verfahren" title="Molekülorbitaltheorie">(Linear combination of atomic orbitals molecular orbital method)</a>, wir müssen aber betonen, dass die Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{A}^{}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{A}^{}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a1367c1447d3359f67718612f2a9dc529f0064a6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.85ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi _{A}^{}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{B}^{}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{B}^{}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b96f6fa6e56fd11ee63777f0468545c611bb59b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.865ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi _{B}^{}}" loading="lazy"> im Allgemeinen „polarisiert“ sind, d. h., sie sind keine reinen Eigenfunktionen der Drehimpulsoperatoren bzgl. ihrer jeweiligen Zentren (s. a. unten). Allerdings reduzieren sich die lokalisierten Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{A,B}^{}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{A,B}^{}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a692af41e7cebbbcf30614c33c9f0cf5fdcb1468.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi _{A,B}^{}}" loading="lazy"> im Grenzfall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R\rightarrow \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R\rightarrow \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a78a10a107a0496ab01b208e2386f5bba063ff1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.702ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R\rightarrow \infty }" loading="lazy"> auf die wohlbekannten atomaren (wasserstoff-artigen) Psi-Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{A,B}^{0}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{A,B}^{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d40abcca4f15364efdf9a1f15a1d50787a802c73.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:4.555ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \phi _{A,B}^{0}}" loading="lazy">. Wir bezeichnen nun mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> die Ebene senkrecht zur Kernverbindungslinie in der Mitte zwischen beiden Kernen (s. Diagram für <a href="Diwasserstoff-Kation" title="Diwasserstoff-Kation">Wasserstoff-Molekülion</a> für weitere Einzelheiten), mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathbf {z} }}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathbf {z} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ee430147009dc051bd847634ddb83752a0b9641c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.188ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle {\mathbf {z} }}" loading="lazy"> einen Einheitsvektor senkrecht zu dieser Ebene (dieser Vektor sei parallel zur kartesischen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy">-Richtung), so dass der gesamt dreidimensionale Raum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/42ee047387e551a89e8481e1a9e974dcc5fd5acc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.057ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}" loading="lazy"> in einen linken (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy">) und einen rechten (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy">) Halbraum geteilt wird. Aus Symmetrieüberlegungen folgt:

<msub>

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<msub>

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</msub>

</mrow>

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</mrow>

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<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left.\psi _{-}\right|_{M}=\mathbf {z} \cdot \left.\mathbf {\nabla } \psi _{+}\right|_{M}=0\;.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8ea34a41cb708604e1d3d9c6ed08591b230d251d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.714ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left.\psi _{-}\right|_{M}=\mathbf {z} \cdot \left.\mathbf {\nabla } \psi _{+}\right|_{M}=0\;.}" loading="lazy"></dd></dl>

Dies impliziert, dass:

<msub>

<mrow>

</mrow>

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</msubsup>

</mrow>

</mrow>

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<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left.\phi _{A}^{}\right|_{M}=\left.\phi _{B}^{}\right|_{M}\;,\qquad {\mathbf {z} }\cdot \left.\mathbf {\nabla } \phi _{A}^{}\right|_{M}={}-\mathbf {z} \cdot \left.\mathbf {\nabla } \phi _{B}^{}\right|_{M}\;.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/231e2e277d02f4f3d2ad4e923149252427b11cc9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:48.114ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left.\phi _{A}^{}\right|_{M}=\left.\phi _{B}^{}\right|_{M}\;,\qquad {\mathbf {z} }\cdot \left.\mathbf {\nabla } \phi _{A}^{}\right|_{M}={}-\mathbf {z} \cdot \left.\mathbf {\nabla } \phi _{B}^{}\right|_{M}\;.}" loading="lazy"></dd></dl>

Die lokalisierten Funktionen sind normiert, so dass gelten muss:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{L}\phi _{A}^{2}~dV=\int _{R}\phi _{B}^{2}~dV}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eb80eb18644d5263e5fe5fa68a4add0347ae6a4c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:22.172ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{L}\phi _{A}^{2}~dV=\int _{R}\phi _{B}^{2}~dV}" loading="lazy"></dd></dl>

und umgekehrt. Integration dieses Ergebnisses über den gesamten Raum links der Ebene <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> ergibt:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

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<msub>

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</msub>

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</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\int _{L}\psi _{+}\psi _{-}~dV=\int _{L}(\phi _{A}^{2}-\phi _{B}^{2})~dV=1-2\int _{R}\phi _{A}^{2}~dV}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d42335116367d181ffad28b1af2db482da1cc89d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:52.148ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle 2\int _{L}\psi _{+}\psi _{-}~dV=\int _{L}(\phi _{A}^{2}-\phi _{B}^{2})~dV=1-2\int _{R}\phi _{A}^{2}~dV}" loading="lazy"></dd></dl>

und

<msub>

</mrow>

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<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

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<msub>

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</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{L}(\psi _{+}\nabla ^{2}\psi _{-}-\psi _{-}\nabla ^{2}\psi _{+})~dV=\int _{L}(\phi _{B}^{}\nabla ^{2}\phi _{A}^{}-\phi _{A}^{}\nabla ^{2}\phi _{B}^{})~dV}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0681e28496455e41516269a27e7b1a7695ee4caa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:60.34ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{L}(\psi _{+}\nabla ^{2}\psi _{-}-\psi _{-}\nabla ^{2}\psi _{+})~dV=\int _{L}(\phi _{B}^{}\nabla ^{2}\phi _{A}^{}-\phi _{A}^{}\nabla ^{2}\phi _{B}^{})~dV}" loading="lazy"></dd></dl>

Anwendung einer Variante des <a href="Gau%C3%9Fscher_Integralsatz" title="Gaußscher Integralsatz">gaußschen Integralsatzes</a> auf dieses Ergebnis führt schließlich auf die Holstein-Herring-Formel:

</mrow>

<mfrac>

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</msubsup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta E={}-2\,{\frac {\int _{M}\phi _{A}^{}\mathbf {\nabla } \phi _{A}^{}\bullet d{\mathbf {S} }}{1-2\int _{R}\phi _{A}^{2}~dV}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/71d2f609377e5f4bb42932b682c35cb2b1036ba7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:28.012ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta E={}-2\,{\frac {\int _{M}\phi _{A}^{}\mathbf {\nabla } \phi _{A}^{}\bullet d{\mathbf {S} }}{1-2\int _{R}\phi _{A}^{2}~dV}}}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d{\mathbf {S} }}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d{\mathbf {S} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3517875b9c3c2cf6eebf5a1a3afeed732d3829f5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.701ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d{\mathbf {S} }}" loading="lazy"> ein differentielles Flächenelement der Mittelebene <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> ist. Mit dieser Formel gelang es Herring erstmals zu zeigen,<a href="#cite_note-Herring62-3">[3]</a> dass der führende Term der asymptotischen Entwicklung der Energiedifferenz zwischen den beiden niedrigsten Zuständen des Wasserstoff-Molekülions, also des ersten angeregten Zustandes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2p\sigma _{u}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2p\sigma _{u}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f97b1de2943f8026f04360f35ee307a918bdaca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.832ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 2p\sigma _{u}}" loading="lazy"> und des Grundzustandes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1s\sigma _{g}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1s\sigma _{g}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/283693b0fca3aa88bd4dc6c071a5a0f7f5a9ea52.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.602ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 1s\sigma _{g}}" loading="lazy"> (bezeichnet nach molekularer Notation – s. obige Abbildung für die Energiekurven), folgende mathematische Form hat:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta E=E_{-}-E_{+}={\frac {4}{e}}\,R\,e^{-R}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1298c889cd1fd70685d34af36d2369253307d5cb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:27.579ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta E=E_{-}-E_{+}={\frac {4}{e}}\,R\,e^{-R}}" loading="lazy"></dd></dl>

Vorherige Berechnungen auf der Basis der LCAO-Näherung für die atomaren Orbitale hatten fälschlicherweise den Vorfaktor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4/3}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4/3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f2f29a3dad63994c875d297399d10029b43eda57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.487ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 4/3}" loading="lazy"> anstatt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4/e}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4/e}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fc9df777ba907e47984202245b9722bf3461da96.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.408ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 4/e}" loading="lazy"> ergeben.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungen">Anwendungen</h2></div>

Die Holstein-Herring-Formel hatte nur begrenzte Bedeutung für Anwendungen, bis um 1990, als Tang, <a href="Jan_Peter_Toennies" title="Jan Peter Toennies">Toennies</a>, und Yiu<a href="#cite_note-8">[8]</a> zeigten, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{A}^{}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{A}^{}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a1367c1447d3359f67718612f2a9dc529f0064a6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.85ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi _{A}^{}}" loading="lazy"> eine polarisierte Funktion sein kann, d. h. eine atomare, an einem der beiden Kernorte lokalisierte Wellenfunktion, die durch den Einfluss des anderen Kerns verzerrt wird und daher keine eindeutige Symmetrie (gerade oder ungerade) mehr aufweist. Dennoch kann die oben angegebene Holstein-Herring-Formel verwendet werden und liefert die korrekte asymptotische Reihenentwicklung für die Austauschenergieaufspaltung. Auf diese Weise ist auch ein ursprüngliches Zwei-Zentren-Problem erfolgreich in ein effektives Ein-Zentren-Problem umgewandelt worden. Anschließend wurde diese Formel für Zwei-Zentren-Probleme mit einem aktiven Elektronen (z. B. Alkalidimer-Kationen) erweitert. Durch Scott et al. wurde das Verständnis dieses zunächst überraschenden Ergebnisses vertieft, was die Klärung subtiler, aber wichtiger Fragen zur Konvergenz der polarisierten Funktionen erforderte.<a href="#cite_note-9">[9]</a><a href="#cite_note-10">[10]</a><a href="#cite_note-11">[11]</a> Das Ergebnis dieser Analyse bedeutet, dass im Prinzip jede beliebige Ordnung der asymptotischen Reihenentwicklung der Austauschenergieaufspaltung berechnet werden kann. Die Holstein-Herring-Methode ist auch für den Fall von zwei aktiven Elektronen erweitert worden, d. h. für die beiden niedrigsten gebundenen Zustände des Wasserstoff-Moleküls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\ce {H_2}}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\ce {H_2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47eff53b325ce9d8ead5dbec9a503e95b8eff109.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.797ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathrm {H} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}}}" loading="lazy"><a href="#cite_note-12">[12]</a> und allgemeinere zweiatomige Systeme.<a href="#cite_note-13">[13]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Physikalische_Interpretation">Physikalische Interpretation</h2></div>

Die oben angegebene Holstein-Herring-Formel kann wie folgt physikalisch interpretiert werden: Das Elektron <a href="Tunneleffekt" title="Tunneleffekt">tunnelt</a> zwischen beiden Kernen hin und her, erzeugt dadurch einen Strom, dessen Flussdichte durch die Mittelebene <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> die Bestimmung der Austauschenergieaufspaltung erlaubt. Bezogen auf den Tunneleffekt, eine ergänzende Auslegung von <a href="Sidney_Coleman" title="Sidney Coleman">Sidney Colemans</a> „Aspects of Symmetry“ („Aspekte der Symmetrie“, 1985) hat eine „<a href="Instanton" title="Instanton">Instanton</a>“ Reise in die Nähe und über den klassischen Weg innerhalb <a href="Pfadintegral" title="Pfadintegral">Pfadintegral</a>. Diese Energie wird also von beiden Kernen geteilt, d. h. ausgetauscht. Zu beachten ist noch, dass das Volumenintegral über <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy"> im Nenner der Holstein-Herring-Formel subdominant ist, so dass für genügend große Kern-Kern-Abstände der Nenner einfach gleich eins gesetzt werden kann und nur das Oberflächenintegral im Zähler berechnet zu werden braucht.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> T. Holstein: <cite style="font-style:italic">Mobilities of positive ions in their parent gases</cite>. In: <cite style="font-style:italic"><a href="J._Phys._Chem." class="mw-redirect" title="J. Phys. Chem.">J. Phys. Chem.</a></cite> Band 56, Nr. 7, Juli 1952, S. 832–836, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1021/j150499a004">10.1021/j150499a004</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Holstein-Herring-Methode&rft.atitle=Mobilities+of+positive+ions+in+their+parent+gases&rft.au=T.+Holstein&rft.date=1952-07&rft.doi=10.1021%2Fj150499a004&rft.genre=journal&rft.issue=7&rft.jtitle=J.+Phys.+Chem.&rft.pages=832-836&rft.volume=56" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> T. Holstein In: Westinghouse Research Report 60-94698-3-R9 1955 (unveröffentlicht).

</li>

<li id="cite_note-Herring62-3">↑ <a href="#cite_ref-Herring62_3-0">a</a> <a href="#cite_ref-Herring62_3-1">b</a> <a href="Conyers_Herring" title="Conyers Herring">C. Herring</a>: <cite style="font-style:italic">Critique of the Heitler-London Method of Calculating Spin Couplings at Large Distances</cite>. In: <cite style="font-style:italic"><a href="Rev._Mod._Phys." class="mw-redirect" title="Rev. Mod. Phys.">Rev. Mod. Phys.</a></cite> Band 34, Nr. 4, Oktober 1962, S. 631–645, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1103/RevModPhys.34.631">10.1103/RevModPhys.34.631</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Holstein-Herring-Methode&rft.atitle=Critique+of+the+Heitler-London+Method+of+Calculating+Spin+Couplings+at+Large+Distances&rft.au=C.+Herring&rft.date=1962-10&rft.doi=10.1103%2FRevModPhys.34.631&rft.genre=journal&rft.issue=4&rft.jtitle=Rev.+Mod.+Phys.&rft.pages=631-645&rft.volume=34" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> J. Bardsley,T. Holstein, B. R. Junker, S. Sinha: <cite style="font-style:italic">Calculations of ion-atom interactions relating to resonant charge-transfer collisions</cite>. In: <cite style="font-style:italic"><a href="Phys._Rev._A" class="mw-redirect" title="Phys. Rev. A">Phys. Rev. A</a></cite>. Band 11, Nr. 6, Juni 1975, S. 1911–1920, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1103/PhysRevA.11.1911">10.1103/PhysRevA.11.1911</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Holstein-Herring-Methode&rft.atitle=Calculations+of+ion-atom+interactions+relating+to+resonant+charge-transfer+collisions&rft.au=J.+Bardsley%2CT.+Holstein%2C+B.+R.+Junker%2C+...&rft.date=1975-06&rft.doi=10.1103%2FPhysRevA.11.1911&rft.genre=journal&rft.issue=6&rft.jtitle=Phys.+Rev.+A&rft.pages=1911-1920&rft.volume=11" style="display:none">

</li>

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